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Komplexe Abbildungen

Auch in diesem Kapitel kann man auf dem interaktiven Lernpfad einige interaktive Applets ausprobieren.

Beispiel 1: Die Abbildung , wobei z eine komplexe Zahl sein soll.

Bei der Wiederholung komplexer Zahlen (siehe Schaltfläche oben) wurde auch die Multiplikation komplexer Zahlen z₁z₂, die einer Drehstreckung entspricht, vorgestellt:
z₂ wird gestreckt, Streckfaktor ist der Betrag von z₁. Zusätzlich wird z₂ noch um den Winkel gedreht, den z₁ mit der x-Achse bildet.

Sehen wir uns mal an, was die Abbildung mit den komplexen Zahlen im Gitter von
z₁ = -5 -5i bis z₂ = 5 + 5i macht. In der ff. Abbildung ist das Gitter in roter Farbe dargestellt, die Bilder in gelber Farbe.
Bei Mausklick aufs Bild wird das zugehörige pov-Skript gezeigt.



Lädt man sich das Skript runter, dann kann man durch Änderung der Schleifenzähler das Gitter einfach verschieben und erhält dann andere Abbildungen. Ausprobieren!

Bemerkung zur Programmierung in PoVRay:

Die Länge des Zeigers kann auch mit vlength(punkt) berechnet werden.
Der mit der arc cos -Relation berechnete Winkel ist im Bogenmaß, muss daher noch in Grad umgewandelt werden.



#macro quadratzahl (X,Y,Z, farbe)
  #local punkt =<X,Y,Z>;
  #local LP= sqrt(X*X+Y*Y+Z*Z);
  #local winkel=acos(X/LP);

  #local drehung=winkel*180/pi;
  #local bild=sphere {punkt*LP, 0.5 pigment{farbe} rotate <0,0,drehung> }
  bild
#end



Der Aufruf des Makros wird dann einfach in die verschachtelte Zählschleife fürs Gitter eingebunden.

Zur Wiederholung, wer's denn braucht:
Bogenmaß und Skalarprodukt:

Beispiel 2: Eine Exponentialfunktion muss her: e ^z.
Sehen wir uns an, was bei dieser Abbildung mit einer Geraden geschieht:
Die Punkte A und B, die die Gerade festlegen, können mit gedrückter Maustaste bewegt werden.
Zieht man dann P entlang der Geraden, dann durchläuft das Bild von P unter unserer Abbildung eine "Schnecke": Setze z. B B auf (-3/-2) und A auf (-2/6).

Mathematische Bemerkungen zur e-Funkton mit komplexen Exponenten:

Ersetzt man e^x durch e^ix, so muss man sich fragen, was das überhaupt bedeuten soll.
Zur Antwort benutzen wir die Taylorreihenentwicklung von e^x:
(Mit sog. Taylorreihen werden Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen angenähert )



und ersetzen x durch ix:



Wir setzen i²=-1 ein und spalten die Summe in einen Real- und einen Imaginärteil auf:



Als Real- um Imaginarteil erhalten wir interessanterweise genau die Taylorreihen von cos x und sin x !

Also:

e^ix = cos x + i sin x

Diese auf Leonhard Euler zuruckgehende Beziehung ist eine der wichtigsten mathematischen Formeln uberhaupt!

Sehen wir uns noch an, was sie für die Winkel 360° und 180° liefert:



... und wählt man die Exponentialdarstellung für komplexe Zahlen, dann liefern uns die Potenzgesetze freundlicherweise auch gleich die Regel für die Multiplikation komplexer Zahlen in der Darstellung mit Polarkoordinaten:

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