Komplexe Zahlen

Im Bereich der reellen Zahlen ist die Gleichung x² = -1 nicht lösbar. Was können wir tun?
Erinnern wir uns zunächst an Addition, Subtraktion und Multiplikation reeller Zahlen am Zahlenstrahl:

Addition und Multiplikation positiver reeller Zahlen: 3+3=6 und 2^.3=6



Soll die 3 mit -2 multipliziert werden, dann kommt eine Drehung um 180° dazu:



Gehen wir zurück zu unserer Gleichung x²=-1. Wir suchen eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert, -1 ergibt. Wir nennen diese Zahl i.

Es soll also gelten: i ^. i = -1

Die zweimalige Multiplikation mit i soll der Multiplikation mit -1 entsprechen, d. h. einer Drehung um 180° am Zahlenstrahl, also muss die einmalige Multiplikation mit i einer Drehung um 90° am Zahlenstrahl entsprechen.
Wir erhalten also die folgenden Darstellung:



Setzt sich eine komplexe Zahl nun aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammen, dann wird sie als Zeiger dargestellt:



Für die 4 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen gelten nun die altbekannten Rechengesetze, insbesondere das Distributivgesetz:

Beispiel:

(2-5i)^.(-4+3i)
= 2^.(-4)+2^.3i-5i^.(-4)-5i^.3i
= -8 + 6i + 20 i - 15^.i²
= -8 + 26i - 15^.(-1)
= 23 + 26i

Für die geometrische Darstellung der Rechenarten wird Zeigerdarstellung benutzt. Auch die Darstellung komplexer Zahlen in Polarform ist möglich:



Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl Z können mit Winkel und Betrag angegeben werden:



Dabei gilt:

Addition / Subtraktion komplexer Zahlen in Zeigerdarstellung:

Die Addition komplexer Zahlen entspricht in Zeigerdarstellung der Vektoraddition:

Multiplikation komplexer Zahlen in Zeigerdarstellung:

Multipliziert man reelle Zahlen am Zahlenstrahl, dann wird die eine um den Betrag der anderen Zahl gestreckt, bei Multiplikation mit einer negativen Zahl kommt zusätzlich noch eine Drehung um 180° hinzu.

Ebenso entspricht auch die Zeigermultiplikation komplexer Zahlen einer Drehstreckung:
z₂ wird gestreckt, Streckfaktor ist der Betrag von z₁. Zusätzlich wird z₂ noch um den Winkel gedreht, den z₁ mit der x-Achse bildet.

Siehe auch "affine Abbildungen"!





Mit Hilfe des Distributivgesetzes kann die Voreinstellung (2+i)(3-i)=7+i überprüft werden.

Division komplexer Zahlen (algebraisch)

Es sei z₁= a + bi und z₂ = c + di. Wir suchen also den Bruch



Wer will schon die imaginäre Zahl i im Nenner eines Bruches? Wir benutzen also die 3. binomische Formel zum Erweitern und multiplizieren aus:









Konjugiert komplexe Zahlen

Sei z = a + bi, dann heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl. In der Gaußchen Zahlenebene erhält man sie durch Spiegelung des Zeigers z an der reellen Zahlenachse.

Für das Produkt einer komplexen mit ihrer konjugiert komplexen Zahl gilt:



(Satz des Pythagoras)

Darstellung einer konjugiert komplexen Zahl in Polarkoordinaten:

Wegen



gilt



Bei der Multiplikation in Polarform werden die beiden Beträge multipliziert, die jeweiligen Winkel werden addiert: (Formel mit Distributivgesetz und Additionstheoremen für sin und cos herleitbar )

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Bemerkung zu einer eventuellen Erweiterung der komplexen Zahlen

Da die Zahl i ja 'erfunden' wurde, um Gleichungen lösen zu können, die auf x² = -1 führen, könnte man sich ja die Frage stellen, ob man für x² = i eine neue 'superkomplexe' Zahl benötigt, mit der dann die Wurzel aus i bezeichnet wird. Denken wir das doch mal durch:

Gesucht ist z mit z² = i .

Also quadrieren wir z:



Der Betrag unserer gesuchten Zahl z muss 1 sein (nur 1²=1), sie ist natürlich rein imaginär, somit ist der reelle Teil Null



und der Betrag 1 kann nur aus dem imaginären Teil resultieren, es gilt also



Schon haben wir ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, das wir lösen können: Wir lösen die 2. Gleichung nach dem Sinus auf und setzen das Ergebnis in die 1. Gleichung ein:



Dies führt zu den Lösungen



und wir erhalten

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