Matrix

Wir betrachten die Vektorabbildung



für die gelten soll (ui und ui' sind dabei die Komponenten der beiden Vektoren):



Dafür wird eine abkürzende Schreibweise benutzt:



Das Zahlenschema



wird dann Matrix genannt (selbstverständlich gibt es nicht nur (2,2)-Matrizen, aber da wir beim Thema 'Möbiustransformation' dauernd komplexe Zahlen benutzen, werden hier nur solche Beispiele vorgestellt).

Einfache Beispiele:

Beispiel 1: Streckung um den Faktor s
Hierzu gehört die Matrix



denn



Beispiel 2: Rotation einer komplexen Zahl um den Winkel ß

    Einschub Additionstheoreme Sinus und Kosinus: Für die Addition zweier Winkel x und y gilt:
    sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
    cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y



Für Realteil und Imaginärteil der komplexen Zahlen z und z' gilt:



Die zweite Zeile wird mit Hilfe des Additionstheorems umgeformt, die erste Zeile wird dann in die zweite Zeile eingesetzt. Man erhält:



Beispiel 3: Die komplexe Zahl z=1+0i wird durch eine Drehstreckung in die komplexe Zahl z'=a+bi überführt.

also



dann gehört dazu die (2,2)-Matrix



denn



Ist ja schön und gut, aber warum denn ein -b??? Durch die Multiplikation mit 0 fällt es ja eh weg. Also ein genaueres Hinsehen ist angesagt:
Die Matrix für die Drehung ist bereis bekannt, nämlich:



Auch die Matrix für Streckung kennen wir, für den Streckfaktor s gilt:



Also führen wir nun beide Abbildungen hintereinander aus:



Mit



erhalten wir



und das Geheimnis um -b ist gelöst.

Rechengesetze für Matrizen kann man dann in einem geeigneten Mathebuch nachlesen, oder auch im Netz aller Netze.


















































































































































































































Inversion einer Matrix

Auch hier wieder die Beschränkung auf (2,2)-Matrizen, da dies ja das vergessene Vorwissen zum Thema 'Möbiustransformation' mit komplexen Zahlen ist.

    Einschub Determinante:
    Als abkürzende Schreibweise für die Differenz zweier Produkte kann man eine (2,2)-Determinante verwenden:

Wenn ad-bc von Null verschieden ist (die zugehörige Matrix wird in diesem Fall regulär genannt), dann definiert man die zu



inverse Matrix A* als die zur inversen Abbildung gehörende Matrix.

... und weil dies weder anschaulich ist noch verständlich klingt, gibt's nun ein Beispiel.
Eine affine Abbildung sei durch die folgenden Abbildungsgleichungen gegeben:



Wir suchen nun die inverse Abbildung, d. h. diejenige Abbildung, die dies wieder rückgängig macht, also x' und y' wieder auf x bzw. y abbildet.
Wir müssen also unser Gleichungssystem nach x und y auflösen:



Wir haben also die inverse Matrix A* gefunden! Da das Produkt von A mit A* der Hintereinanderausführung der beiden entsprechenden Abbildungen entspricht, folgen wir der Devise "Vertrauen ist gut, aber Kontrolle ist besser" und überprüfen unser Ergebnis am Beispiel der komplexen Zahl z=a+bi.

Zunächst wenden wir die ursprüngliche Abbildung A auf z an, um z' zu erhalten:



Nun wenden wir die Umkehrabbildung auf z' an (und hoffen schon mal, dass wir auch wieder z erhalten):



So soll es sein!!! ... und wir erkennen auch noch, dass die Multiplikation von Matrix mit inverser Matrix die Einheitsmatrix ergibt:



Hätten wir die inverse Matrix auf diese Weise definiert, wer hätte sie dann zu einem geg. Beispiel ausrechnen können?

Unser Beispiel hilft uns nun, für eine (2,2)-Matrix eine Formel für das Berechnen der inversen Matrix zu finden: Wir lösen unser Gleichungssystem eben mit den Koeffizienten a,b,c und d.
Um etwas Schreibarbeit zu sparen, bezeichnen wir die zug. Determinante mit det:

det = ad - bc

Zur Abbildung schreiben wir das Gleichungssystem auf:



und lösen es nach geeigneter Multiplikation und anschließender Addition der beiden Gleichungen nach y auf:



Das Ergebnis wird in die erste Gleichung eingesetzt und dann nach x aufgelöst.
An den beiden Lösungen für x und y können wir dann die inverse Matrix A* ablesen:



... und wer nun ein paar eigene Beispiele berechnen will, kann sein Ergebnis hier überprüfen!

Und wer's genauer wissen will und sich mit Eigenvektoren, Rechengesetzen, Gruppen, (n,n)-Matrizen und Ähnlichem vergnügen will, der schlage ein Mathebuch auf! Hier geht's nun zurück zur inversen Möbiustransformation.


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