Fraktale und Lindenmayersysteme

Mit einem System, das auf sogenannten Produktionsregeln basiert, begann 1968 der Biologe Aristid Lindenmayer ein Modell zur Beschreibung des Pflanzenwachstums zu entwickeln.

Einschub TURTLE-Grafik:

Wir starten bei einem Punkt (x,y) in der x-y-Ebene und einer Blickrichtung. s (eine Länge, z. B. s= 1 LE) und ß (ein Winkel, z. B. ß=90°) seien zuvor festgelegt worden.

Dann werden die folgenden Festlegungen getroffen:

F: Turtle bewegt sich s LE vorwärts und zieht dabei eine Linie
f: Turtle bewegt sich s LE vorwärts und zieht dabei keine Linie
+: Turtle ändert die Blickrichtung um den Winkel ß im Uhrzeigersinn
-: Turtle ändert die Blickrichtung um den Winkel ß gegen den Uhrzeigersinn

Ein Beispiel: F F + F F F - F - F



Noch zwei weitere Befehle können hinzugefügt werden:
[: Merke dir die aktuelle Position (Ablage auf dem Stack)
]: Stelle die zuletzt gemerkte Position wieder her (oberste Adresse im Stack abrufen)

Bemerkung: Bei englischsprachigen Anleitungen werden die beiden letzten Befehle mit "push" und "pop" bezeichnet.

Somit ist es nun möglich "Verästelungen" zu zeichnen.

F [- F F + F F ] F + F F F - F - F

Für AnfängerInnen: Hier sind zusätzliche Übungen.


Beim Lindenmayer-System geben wir nun eine Zeichenkette vor, die wir Axiom oder Zeichenanweisung nennen: (Mehrere Ersetzungsregeln sind erlaubt.)

Beispiel: Axiom sei F - F - F - F

Als nächstes ersetzten wir jedes Zeichen F gleichzeitig durch eine neue Zeichenkette, die wir Ersetzungsregel nennen:

Beispiel: F --> F + F - F - F F + F + F - F

Mit dem Programm "Fraktale Strukturen" probieren wir das mal aus:



Wir behalten Winkel ß=90°, Axiom und Ersetzungsregel bei und erhöhen die Iterationstiefe von 2 auf 3 (bei kürzerer Länge):



... und noch ein Iterationsschritt dazu:



Diese quadratischen "Kochinseln" können auch hier mit LILY untersucht werden.

Noch ein weiteres Beispiel:



na ja, wackelt ein bisschen.

Auch ein paar Links ins Netz aller Netze sollen an dieser Stelle nicht fehlen:

Die LParser-Homepage

Die Definition aus Wikipediae

Eine Fundgrube für Axiome und Ersetzungsregeln

Strukturen in der Biologie

Verschiedenes zum Thema

Wachstumssimulationen

Wikipedia erklärt Turtle-Grafik

Eine Semesterarbeit über Fraktale Geometrie

Eine Beispielsammlung

Lindenmayer-Systeme-Einführung

Algorithmic Botany

Ein PDF-Doku ohne Angabe des Autors / der Autorin, nichtsdestotrotz gut verständliche Einführung