Die de Morgan'schen Regeln

werden nicht nur in der Mengenlehre sondern auch in der Aussagenlogik benutzt:

Eine durch UND (AND) zusammengesetzte Aussage soll verneint werden. Sehen wir uns zunächst anhand eines Beispieles die Wahrheitstafel für UND an:

Aussage A: Ich gehe heute schwimmen.
Aussage B: Ich gehe heute spazieren.
Durch UND zusammgesetzte Aussage: Ich gehe heute schwimmen und spazieren.

Die Wahrheit sage ich nur, wenn ich BEIDES tue, also ist nur in Zeile 1 w(ahr), ansonsten f(alsch) für die durch UND zusammengesetzte Aussage einzutragen:



Eine durch UND zusammengesetzte Aussage ist also nur wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind.

Wie wird nun die durch UND zusammengesetzte Aussage verneint? Sehen wir auf unser Beispiel:

Es ist nicht wahr, dass ich heute schwimmen und spazieren gehe. Man kann mich einer Lüge überführen, sobald ich EINE der beiden Tätigkeiten nicht durchführe. Also gilt:

Ich gehe heute nicht schwimmen ODER ich gehe gehe heute nicht spazieren (oder tue Beides nicht) (inclusiv-ODER) ist gleichbedeutend mit Es ist nicht wahr, dass ich heute schwimmen und spazieren gehe. Für die Wahrheitstafel gilt also:



Eine durch UND zusammengesetzte Aussage wird verneint, indem beide Teilaussagen verneint und durch ODER verbunden werden.



Diese de Morgan'sche Regel kann nun auch in die Schaltalgebra übernommen werden.



Der obere Teil der Schaltung liefert dieselbe Funktionstabelle wie der untere Teil der Schaltung.
Neu im oberen Teil der Schaltung ist das NAND-Gatter: NAND = NICHT UND. Die zum NAND-Gatter gehörende Funktionstabelle sieht also folgendermaßen aus:



Anstelle eines NAND-Gatters kann also auch ein ODER-Gatter, auf dessen Eingängen NICHT A und NICHT B liegen, geschaltet werden.

Der Negation einer Aussage entspricht in der Mengenlehre die Komplementmenge (Komplementärmenge) einer Menge:





Die 2. de Morgan'sche Regel

Starten wir wieder mit einer Aussage aus dem Alltag: Ich kaufe einen roten ODER einen blauen Pullover.

Wir erinnern uns: Die ODER-Aussage ist nur falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind, ihre Verneinung ist also nur wahr, wenn beide Teilaussagen falsch sind:
"Es ist nicht wahr, dass ich einen roten oder einen blauen Pullover kaufe" ist also gleichbedeutend mit "Ich kaufe keinen roten UND keinen blauen Pullover".

Es gilt also:

Eine durch ODER verknüpfte Aussage wird negiert, indem die beiden Teilaussagen negiert und dann durch UND zusanmengesetzt werden .

Für die Schaltalbebra bedeutet diese 2. de Morgan'sche Regel:
Eine NOR-Schaltung kann ersetzt werden, indem die beiden Eingänge einer AND-Schaltung invertiert werden. (NOR = NICHT ODER)

Zusammenfassung für Negation:
Aussagenlogik: Vertauschung von UND und ODER
Schaltalgebra: Vertauschung von AND- und OR-Gatter
Mengenlehre: Vertauschung von VEREINIGUNG und SCHNITT.

Das Komplement der Vereinigungsmenge zweier Mengen entspricht der Schnittmenge der beiden Komplementmengen.

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz werden im 2. Aufgabenblatt untersucht.

... und wer ein bisschen üben will, kann sich das zweite Aufgabenblatt im PDF-Format ausdrucken.

• Zweites Aufgabenblatt

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