Newton, Raphson und die näherungsweise Nullstellenbestimmung von Funktionen

Gesucht sind die Nullstellen einer Funktion f(x). Am Beispiel der Funktion
f(x) = 2 x^3,4 + 4 x² + x - 8
erkennt man beim Zeichnen des Funktionsgraphen, dass der Schnittpunkt mit der x-Achse graphisch nicht genau abgelesen werden kann.

Als lineare Annäherung an die Funktion f(x) wird die Tangente t(x) im Punkt P(x₀/f(x₀) verwendet und mit der x-Achse geschnitten.

Der Punkt P(x₀/f(x₀) liegt also sowohl auf der Tangente als auch auf dem Funktionsgraphen.
Für die Tangentensteigung in P gilt: m_t = f'(x₀).

Nach der Punkt-Steigungs-Formel für Geradengleichungen gilt also:

Diese Tangente schneidet die x-Achse im Punkt P₁ (x₁ / 0) = ( x₁ / t(x₁) , den man also in die Punkt-Steigungsformel der Tangentengleichung einsetzen darf:

Diese Gleichung wird nun nach x₁ aufgelöst:

Nun betrachtet man die Tangente an f(x) am Schnittpunkt mit der x-Achse(x₁ / 0) der ersten Tangente und wiederholt dieselben Überlegungen:

Im dritten Schritt wird nun die Tangente an f(x) an der Stelle x₂ betrachtet, usw.
Ist man schließlich beim n-ten Schritt angelangt, erhält man also die folgende Formel:

Häufig wird auch der (n+1)-te Schritt betrachtet:

Unter Verwendung des Distributivgesetzes wird diese letzte Formel noch vereinfacht:

Da hierbei der Wert x_n+1 mit Hilfe des vorherigen Wertes x_n berechnet wird, (... ebenso auch x_n mit Hilfe des vorherigen Wertes x_n-1), wird eine solche Formel Rekusionsformel genannt.